线性系统稳态误差计算

Steady-state Error Calculation for Linear Systems

只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义
$e (t) = e_{t s} (t) + e_{s s} (t)$

暂态分量： $e_{t s} (t)$ $lim_{t \to \infty} e_{t s} (t) = 0$ 系统稳定是基本的要求
稳态分量： $e_{s s} (t)$ $lim_{t \to \infty} e (t) = e_{s s} (\infty)$ 即系统的稳态误差

使用拉普拉斯变换的终值性质计算：

\begin{array}{r} e_{s s} (\infty) = lim_{s \to 0} s E (s) \end{array}

Φ_{e} (s) = \frac{E (s)}{R (s)} = \frac{1}{1 + G (s)}

\begin{array}{r} E (s) = Φ_{e} (s) R (s) \Rightarrow e_{s s} (\infty) = lim_{s \to 0} s E (s) \end{array}

注意！

一定要注意终值条件的使用前提！正弦信号的输入不能使用终值条件计算稳态误差
正弦信号的输入下的误差计算：求误差传递函数，利用频率特性，代入输入信号的角频率，得到输出的误差信号。

开环传递函数极点为 0 的个数/纯积分环节的个数，可以直接判断传递函数对经典输入信号的跟踪能力

\begin{aligned} v = 0 & 0 型 系 统 \\ v = 1 & I 型 系 统 \\ v = 2 & I I 型 系 统 \end{aligned}

\begin{aligned} 开 环 传 递 函 数 ： \\ G (s) H (s) = \frac{K \prod_{i = 1}^{m} (τ_{i} s + 1)}{s^{v} \prod_{j = 1}^{n - v} (T_{j} s + 1)} \\ lim_{s \to 0} G (s) H (s) = \frac{K}{s^{v}} \\ 稳 态 误 差 ： \\ e_{s s} (\infty) = lim_{s \to 0} \frac{s R (s)}{1 + G (s) H (s)} \\ = \frac{lim_{s \to 0} s^{v + 1} R (s)}{K + lim_{s \to 0} s^{v}} \\ = \frac{lim_{s \to 0} s^{v + 1} R (s)}{K} \end{aligned}

e_{s s} (\infty) = {\begin{cases} \frac{R}{1 + K_{p}} & 阶 跃 输 入 \\ \frac{R}{K_{v}} & 斜 坡 输 入 \\ \frac{R}{K_{a}} & 加 速 度 输 入 \end{cases}

求误差系数，也即在考虑输入的阶次时，对开环传递函数求极限

阶跃输入 $\frac{1}{s}$ $K_{p} = lim_{s \to 0} G (s) H (s) = lim_{s \to 0} \frac{K}{s^{v}}$ 静态位置误差系数
斜坡输入 $\frac{1}{s^{2}}$ $K_{v} = lim_{s \to 0} s G (s) H (s) = lim_{s \to 0} \frac{K}{s^{v - 1}}$ 静态速度误差系数
加速度输入 $\frac{1}{s^{3}}$ $K_{a} = lim_{s \to 0} s^{2} G (s) H (s) = lim_{s \to 0} \frac{K}{s^{v - 2}}$ 静态加速度误差系数

注意 $K$ 是误差传递函数化为尾 1 多项式的开环增益

开环传递函数 $G (s) F (s)$
闭环传递函数 $Φ (s) = \frac{C (s)}{R (s)} = \frac{G (s)}{1 + G (s) F (s)}$
误差传递函数 $Φ_{e} = \frac{E (s)}{R (s)}$

\begin{array}{r} Φ_{e} (s) = \frac{R (s) - C (s)}{R (s)} = 1 - Φ (s) = \frac{1}{1 + G (s)} \end{array}

\begin{array}{r} Φ_{e} (s) = \frac{R (s) - F (s) C (s)}{R (s)} = 1 - F (s) Φ (s) = \frac{1}{1 + G (s) F (s)} \end{array}